Overzicht , inleiding , hoekmaten , platte driehoeken , boldriehoeken , hemel , Noten

Stevins Driehouckhandel

Wisconstige Gedachtenissen Weereltschrift (1608) Vanden Driehouckhandel, 364 blz Vant maecksel des tafels der Houckmaten, 140 blz (tabellen: 112)   9 Bepalinghen (houckmaet - sinus,  raecklijn - tangens,  e. a.) 18 Voorstellen Vande Platte driehoucken, 42 blz Cortbegryp, 1 bepaling, Verclaring vande teyckens, 8 voorstellen Platte driehouckwijser Byvough der platte Veelhoucken: 2 bepalingen, 7 voorstellen Vande Clootsche driehoucken, 162 blz Cortbegryp, 2 bepalinghen Eerste onderscheyt: Ghemeene grondt (22 vertogen) Tweede onderscheyt: Form der wercking (9 vertogen) Derde onderscheyt: Werckstucken Rechte houck (6 werkstukken) Bekende sijde van 90 tr. (werkstuk 7) Andere (werkstuk 8, 9 - 13) Clootsche driehouckwijser Byvough der clootsche Veelhoucken: Cortbegryp, 1 voorstel Anhang des Driehouckhandels: Cortbegryp, 9 hoofdstukken Vande Hemelclootsche werckstucken, 20 blz Cortbegryp, 12 Bepalinghen, 13 Werckstucken Overzicht van bepalingen en voorstellen Inleiding Behandeling van driehoeken lijkt misschien een vreemd begin voor een Weereltschrift {Cosmographia.}, maar Stevin geeft in het Cortbegryp de reden dat het ghebruyck oirboir en noodich is tottet Eertclootschrift, Hemelloop, Meetdaet, en ander stoffen daermen nauwe kennis behouft vande grootheyt der houcken en sijden der vlacken Inderdaad wordt in de volgende delen veelvuldig verwezen naar de Driehouckhandel. Stevin streeft steeds naar 'kennis van oorzaken', en legt met dit leerboek een stevige basis. Dijksterhuis zei "dat Stevin hier meer ordenend dan scheppend te werk gaat en dat hij in de luttele bladzijden van het kleine geschrift De Thiende, [...] meer tot de ontwikkeling der wiskunde heeft bijgedragen dan in de honderden foliobladzijden die den Driehouckhandel vormen."  1. De meetkunde van de oude Grieken was verdiept door de Arabieren, Regiomontanus, Copernicus, Werner en Tycho Brahe. Deze kennis kwam nu beschikbaar in de volkstaal van de Lage Landen. Onverwacht is misschien ook het onderwerp van het eerste boek van de Driehouckhandel: een verhandeling over het maken en gebruiken van tabellen voor de goniometrische funkties sinus ('houckmaet'), tangens ('raecklijn') en secans ('snylijn' = 1/cos). Maar in boek 4 vinden we ook hiervoor een goed argument (blz 352): t'groot voordeel van goede oirden in leering der consten [...] Tis by veel vermaerde Schrijvers ghemeen, datse om te vinden de onbekende palen eens driehoucx, verhalen int lang en breet de oirsaken waerom en van waer de everedenheyt {Proportio.} comt tusschen de houckmaten {Sinus.} en linien daer de onbekende palen deur ghevonden worden: Voort van wat houcken of sijden datmen de houckmaten moet vergaren, aftrecken, menichvuldighen, of deelen {Addere, Subtrahere, multiplicare, Dividere.}, en wat bedraghen haer sommen, resten, uytbrenghen, en malen {Summæ, Reliqua, Producta, Quotientes.}, met ander derghelijcke dinghen het werck angaende. Lange verhalen verduisteren het betoog. Stevin vindt dat het anders moet: siet eens watmen al soude moeten segghen om ghenouch en ter deghe gheseyt te wesen, [...] soo veel verscheyden vertooghen {Theoremata.} [...] d'een d'ander barende, eermen eyntlick [...] een werckstick crijght dat de bloote wercking verclaert: Ende ghenomen dat sulcx in yder voorbeelt al ghenouch gheseyt waer, maer wat is noodich? Als je alles steeds duidelijk wilt uitleggen, tot hoever moet je dan gaan? Op blz 353: datmen elcke reyse soude verhalen de manier hoemen menichvuldicht en deelt, mette bewijsingen van dien, dat soude openbaerlick een verdrietich onoirdentlick lanck werck vallen, ghemerckt dat menichvulding en deeling int ghemeen moet gheweten sijn eermen tot haer besonder ghebruyck comt: Ende alsoo oock mette stof der driehoucken: Daerom een die hem tot oeffening van dien wil begheven, behoort eerst te verstaen hoe hy deur drie bekende palen in eenighen beschreven driehouckhandel een navolghelick voorbeelt sal vinden [...] Tis wel waer dat Ptolemeus  over al tottet boveschreven lanck verhael eenichsins ghedronghen is gheweest, om dat sijn Driehouckhandel seer cort beschreven sijnde, niet verspreyt en was in voorstellen tot welcke hy den Doender t'elcken mocht ghesonden hebben, maer sulcx en dunckt ons gheen wisconstighe stijl diemen behoort te volghen, alsoot oock en docht an Regiomontanus  en ander na hem ghecommen, die dese stof met een Euclidische oirden (diemen misschien niet t'onrecht des wijsentijts oirden mocht noemen) beschreven hebben Opgemerkt wordt nog dat Copernicus dat lange verhaal niet overal houdt, maar soms verwijst naar zijn 'driehouckhandel'. Regiomontanus (de Königsberger Johann Müller) had omstreeks 1464 goniometrische tabellen gemaakt, die pas gepubliceerd werden in 1550 / 1561 (1533: De triangulis omnimodis libri quinque). De zaken overzichtelijk op een rijtje zetten, daar ging het om. En dat is een kunst die Stevin als geen ander beheerste. Hoekmaten In het eerste boek geeft Stevin (zoals altijd) eerst de definities. Van de hoek BAC is BC de 'houckbooch', CF de 'houckmaet' (ook van de 'plomphouck' CAD). De hoekmaat van hoek CAE is CG. Als we de straal van de cirkel op 1 stellen kunnen we de hoekmaat gelijk stellen aan de sinus van de hoek. De tangens, of 'raecklijn' van hoek BAC is BI. De cosinus wordt niet gedefinieerd, maar wel het omgekeerde: AI is de 'snylijn' (secans) van hoek BAC (en van hoek CAD). Boogschutters zullen beamen dat een boog een 'pees' heeft waarmee de boog gespannen wordt: Laet CEH een boogh sijn, diens peez de rechte lini CGH is, waer op GE commende als pijl, soo hebbense Ptolemeus en ander die de heele peez voor houckmaet ghebruyckten pijl gheheeten: By welcke naem ons voornemen is te blijven. GE heet bij Stevin de 'houckmaetpijl' van de boog CE (of: van de hoek CAE), en FB die van CB. Het complement van een hoek (de aanvulling tot 90°) heet 'schilhouck', en wat wij noemen het supplement krijgt van Stevin de naam 'halfrontvervulling', of 'halfrontschil'. 2 Opvallend is de laatste bepaling (zonder toelichting), niet alleen om de drukfout: B E K N E D E  linen en houcken noemen wy, diens grootheyt deur ghetal gheuytet wort. Lijnstukken en hoeken zijn pas bekend als ze in een getal zijn uit te drukken. Getallen worden belangrijk in de meetkunde. Dan volgt een Merckt, waar later (blz 144, 186) nog naar verwezen wordt: insiende dat weten is een dinck deur de oirsaken verstaen, soo schijnet best eerst de reden te begrijpen, om te weten waer op t'ghebruyck ghegront is. Doch wort hier op wederom gheseyt, dat een leerlinck eerst een weynich siende deur t'ghebruyck (dat licht valt) wat grooter saken deur dese tafels uytgherecht worden, crijcht veel meerder lust, ende heftigher voornemen om die redenen wiens begrijp moeylicker valt, grondelick te leeren [...] meughen hun eerst int ghebruyck wat oeffenen, bestaende voornamelick int vinden der onbekende palen van platte ende clootsche driehoucken, daeraf int volghende tweede ende derde bouck gheseyt sal worden. Stevin heeft de getallen van de tabellen niet zelf berekend. Aan het eind van voorstel 3 (Fol. 3 verso) zegt hij: MERCKT oock, dat wy om moeyte te schuwen, de selve ghetalen van Regiomontanus sullen nemen, sonder overal t'ondersoucken of de rekeningen heel volcomen sijn: want sijn Vorstelicke Ghenade alleenelick soo veel voorbeelden bereeckent heeft, als totter grondelick verstaen der saeck genouch vvas. Isser deur misdrucken of ander oorsaeck eenich ghetal t'ondeghe, men sal my, diens voornaemste meyning streckt de manier des maecksels deser Tafelen te beschrijven, daer af voor ontschuldicht houden. Maar hij heeft niet alles gewoon overgeschreven, zoals blijkt na voorstel 9 [pag. 16]: VERSEKERING op eenich tvvijffel dat vande voorgaende vvercking ymant ontmoeten mocht. ANGHESIEN dat ymant voorvallen mocht te willen ondersoucken t'gene ick ondersocht heb, ende op dat ick van t'selve ondersochte met een gedachtenis behoude, soo sullen wy daer af wat verclaring doen. Het is dan te weten, dat ick verdocht hadde een manier van wercking, deur welcke men niet en soude hebben behouven te verliesen de twee laetste letters der halfmiddellijn, diemen in dit 9 voorstel verlooren heeft Voor de straal was steeds genomen 1000 000 000, zodat de sinus met negen signifante cijfers ('letters') berekend werd. Maar nu waren er nog maar zeven, en dit gaat Stevin uitgebreid verklaren. In boek 3 staan nog vier algemene stellingen over sinus, tangens en secans van boog en 'schilbooch' (aanvulling tot 90°). Platte driehoeken Claerheyt De zaken op een rijtje zetten, dat deed Stevin ook in het tweede boek: een Cortbegryp in een mooi schema, een bepaling waarin uitgelegd wordt wat bedoeld wordt met rechterhoek en linkerhoek, en een verklaring van de tekens die gebruikt gaan worden. Op blz 148: wy en sullen tot yder voorbeelt maer een manier ghebruycken, ende daer toe die verkiesen, welcke ons doen wy dit beschreven de aldercortste ende bequaemste docht, niet dat wy verachten den nutten arbeyt der ghene die op een selve voorbeelt veel manieren stellen, wantmen daer deur siet hoe seltsaem t'menschelick verstant van over oude tijden in dese stof ghearbeyt heeft [...] wy trachten na corte claerheyt, bequaem totte daet {Praxim.}. Ende soo ymant daer benevens kennis dier verscheydenheden begheert, mach ander schrijvers deursien daer af handelende, ende sijn best doen om daer uyt noch corter en claerder manieren te versamen dan dese. Een uitdaging: ga eens na of andere schrijvers het beter doen. Er zijn acht voorstellen: eerst twee vertogen, en dan zes werkstukken. Vertoog 1 noemen wij de 'sinusregel'. Het tweede laat zien: van een driehoek met drie bekende hoeken kan men de zijden niet vinden. Werkstuk 1: met twee bekende hoeken is de derde te berekenen. De volgende vier passen de sinusregel toe, en het laatste gebruikt iets als de'cosinusregel', met verwijzing naar Euclides (13e voorstel, 2e boek). Nauwkeurigheid Een apart stukje wordt gewijd aan significante cijfers Vande menichte der letters diemen de halfmiddellijn behoort te gheven, int soucken der onbekende palen eens driehoucx. In de tabellen is de straal (eenheid bij sinus etc.) meestal gesteld op 10 miljoen, maar Stevin gebruikt nu steeds 10 000, achterlatende drie letters vande selfde halfmiddellijn, en oock van elck ghetal der tafels, want meer letters nemende, daer soude moeylicker rekening uyt vallen sonder merckelicke meerder sekerheyt int besluyt Om dit toe te lichten geeft hij een mooi voorbeeld. Een rechthoek wordt opgemeten als volgt: AB = 12 roeden (1 roede = 12 voet) angaende een halve roe of 1/3 diet meer of min mach sijn, daer en houdtmen hier af gheen rekening AD = 30 roeden en 1 duim (1 duim = 1/12 voet) Het 'plat' (oppervlak) wordt zo berekend op 360 1/12 roeden (wij zeggen dan: vierkante roeden). Die duim geeft 1/12 bij de 360, maar: Dit verstaen sijnde, ick segh onnoodich te wesen datmen AD soo nau meet alsmen AB niet ghelijckelick oock soo nau en meet: want ghenomen AB 1/2 roe meer of min te doen dan 12 [...] soo sal t'plat dan sijn van 375 25/288, ofte 345 23/288, t'welck over de 15 meer of min is dan t'eerste besluyt, daerom wat helpet deur groote moeyelicke rekening 1/12 meer te vinden, daert bedecktelick wel over de 15 meer of min bedraecht? En dit is ook: de reden waerom de kleenste ghedeelten des boochs en der halfmiddellijn, ten naesten by behooren evegroot te wesen, ghemerckt haer ghedeelten inde wercking met malcander ghemenichvuldicht worden als hier boven AB met AD. In de Meetdaet (blz 87) komt bovenstaand voorbeeld nog eens aan de orde: soo ist int meten van seer langhe smalle landen, betamelick int meten der cortste sijde, scherper toe te sien dan int meten der langste sijde Het voorbeeld dat dan volgt is simpeler: lengte 800 voeten, breedte 10 voeten, meetfout 1 voet. Overzicht Na uitleg van de vele gevallen waarin van een driehoek drie gegevens bekend zijn, zodat de rest is te berekenen, volgt een 'driehoekwijzer': W E L C K E  is manier van een tafel [...] sulcx datmen tot alle ontmoetende voorbeelt terstont een dierghelijcke int voorgaende vinden sal, waer af men de wercking mach volghen van punt tot punt, sonder t'ghedacht met eenighe dier verscheydenheden te becommeren Terstond: een klik.

Bij blz 159 - 161 is te zien dat 10 000 genomen wordt als eenheid. Als gebruiksvoorbeeld wordt een figuur gegeven die bij werkstuk 2 staat. Met de opmerking: als AB bekend was i.p.v. AC zou het een driehoek van dezelfde soort sijn. In sulcken ghevalle machmen in plaets des voorghestelden driehoucx, een ander teyckenen ghelijckse int bouck staet, ende daer an sulcke letters vervoughen ghelijck de navolghelicke driehouck heeft, om alsoo t'ghedacht niet te becommeren met verscheyden letters van een selve beteyckening. Dergelijke overzichten worden gegeven voor de platte veelhoeken (blz 176) en de boldriehoeken (blz 314 - 318). Boldriehoeken Het onderwerp van het derde boek, de boldriehoeksmeting, is van belang in de astronomie (zie hier onder), en bij navigatie op zee (zie: Zeylstreken). Het gaat dan om de berekening van een onbekende hoek of boog. Boldriehoeken werden voor het eerst beschreven door Menelaus (Alexandrië, ± 100), en de theorie werd later verder ontwikkeld door o. a. Albert Girard, die Stevins werk in het Frans vertaalde. Hij vond een formule voor de oppervlakte. Een boldriehoek heeft, evenals een platte driehoek, drie hoeken en drie zijden. De hoeken kunnen scherp, recht of stomp zijn, en samen zijn ze meer dan 180° (zie het mooie bewijs van voorstel 14). De zijden zijn bogen van grote cirkels, kleiner dan de helft, en worden gemeten in 'trappen' (graden). Bepaling 1 definieert: C L O O T S C H E  driehouck is, die int clootvlack begrepen vvort tusschen drie grootste rondts boghen, elck kleender dan een halfront. In de figuur is bijvoorbeeld ABH een boldriehoek met twee rechte hoeken. De grootte van hoek BAH wordt aangegeven met de boog BH, en bedraagt dus evenveel graden als de platte hoek BEH. Er is nogal wat ruimtelijk inzicht nodig om met boldriehoeken goed te kunnen werken, en Stevin geeft aan hoe je de situatie aanschouwelijk maakt met een hulpmiddel (blz 186): Wanttet inde leering der wisconsten groot voordeel gheeft, dat de formen diemen tot verclaring des voornemens ghebruyckt, goede ghelijckheyt mettet beteeckende hebben, ende dat clootsche driehoucken met ander boghen daer toe behoorende, dickwils niet wel nabootselick en sijn int plat op papier, waer deur de leering duysterder valt: Soo neemtmen daer toe een hemelcloot, of eertcloot met haer ghetrapte ronden, oft een cloot van hout of ander stijve stof, daermen boghen van bekende langde op teyckent: [...] men mach daer toe oock nemen, ghelijck sijne  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  ghedaen heeft, een ghelu [geel] wasse clootken diens middellijn van ontrent een duym sy, daer op teyckenende sulcke ronden en boghen, groot en kleen, houcken recht scherp en plomp, als ons te vooren commen, die daer na uytstrijckende, ghelijckmen t'gheschrift op een leye uyt vaeght, ende weder ander stellende na ons begheeren, t'welck tot verstercking des ghedachts gheen cleen behulp en is: Nu kunnen we een pingpongballetje nemen als 'leye'. Stevin betoont zich een goed didacticus als hij bij voorstel 1 het voorstellingsvermogen van de lezer aan het werk zet: ga maar eens na of je het eens bent met de 13 conclusies over rechthoekigheid, 'vierendeelrondts' (kwart van grote cirkel), e.d. Bijvoorbeeld de negende: Soo d'eene der twee rechthoucksijden een vierendeelrondts is, de schoensche {Hipotenusa.} sal oock een vierendeelrondts wesen. Wie zich in de boldriehoeksmeting wil verdiepen vindt hier uitgebreide uitleg. Op het eerste gezicht is deze misschien niet zo helder, want zeer rijk aan woorden die voor ons ongewoon zijn. Maar bij nadere bestudering blijkt steeds weer: alles staat goed op een rijtje, duidelijk, geen speld tussen te krijgen 3. En, zoals staat in het aangehaalde Merckt, het is beter eerst wat te oefenen met een voorbeeld. Een klik in de Clootsche driehouckwijser leidt nu snel naar de manier van berekenen, en naar onderliggende theorie. Stevin legt op blz 233 uit: "ghetippelde boghen en houcken" geven aan wat bekend is. In de figuren kunnen letters staan, zowel bij hoeken als bogen: R (recht), K ("eerste letter vant woort cleen"), en G (groot). R kan betekenen: 90° of een kwart cirkel ('vierendeelrondts'). K staat voor kleinere boog of een scherpe hoek, en G voor een grotere boog of een 'plomphouck'. Hier mede connen wy in een ooghenblick doen verstaen, t'ghene anders veel woorden en langhe redenen soude behouven. Als by voorbeelt om dese byghestelde form uyt te spreken, men soude moeten al dese woorden ghebruycken: Een clootsche rechthouckighe driehouck, met twee bekende houcken, d'een recht d'ander scherp, ende een bekende rechthoucksyde, grooter dan een vierendeelrondts, teghenover den bekenden scherphouck. Hemelclootsche werckstucken Het vierde boek van dit eerste deel van het Weereltschrift {Cosmographia} is een voorbereiding op het derde deel, de Hemelloop. Op blz 347 wordt alvast vermeld dat het eenighe Hemelmeters deses tijts openbaer kennelick is [...] den Eertcloot jaerlicx een keer rontom de Son te doen, en daer beneven noch een daghelicxen keer in haer plaets Dit werd nog maar door weinigen geloofd, meer dan zestig jaar na het verschijnen van Copernicus' De Revolutionibus. Om het "ware roersel lichtelicker te begrijpen" kun je het beste eerst beginnen met de 'versierde' stelling dat de Aarde vast staat, en dat de hemel er omheen draait. Maar eigenlijk: men soude niet meughen segghen van der hemelsche lichten opganck boven den sichteinder {Horizontem.}, maer in die plaets van des sichteinders daling onder die hemelsche lichten De 'hemelclootsche werckstucken' zijn problemen met betrekking tot de plaats op de hemelbol van Zon, Maan, de vijf bekende planeten, en sterren. Het Cortbegryp noemt twee manieren van aanpak: d'eene tuychwercklick {Mechanicè.} met lichamelicke clooten, als des eertrijcx en des hemels, drayende in haer middachront en sichteinder, met ander reetschappen daer toe dienende, als topbooch, uyrront, clootsche winckelhaeck en dierghelijcke [...] D'ander wisconstich {Mathematicè.} deur rekeningen der clootsche driehoucken. Hiernaast een "ghebootsten hemelcloot [...] in haer stoel rustende". De eerste manier is makkelijker: om datmen voor sijn ooghen siet een wesentlick roersel [...] Hier toe heeft sijn  V O R S T E L I C K E   G H E N A D E  puntelick doorsien en grontlick verstaen het bouck gheseyt De vsu Globi Astronomici Gemmæ Frisij [...] Doch dese manier en is soo seker in haer besluyt niet als de wisconstighe [...]: Want al had ymant een cloot diens as van hondert voeten waer, met al haer toebehoorende reetschappen seer wel en constelick ghemaect, nochtans en heeft hy gheen volcommen sekerheyt [...] Maer de wisconstighe manier gaet, ghelijck haer naem mebrengt, ghewis voort [...] tot ghedeelten van trappen soo kleen alst de saeck vereyscht Stevin geeft eerst weer bepalingen: evenaar, 'duysteraer' (ecliptica), 'toppunt' (zenith), 'middachront' (meridiaan), 'Lentsne' (Lentepunt), e. a. Wiskundig zet hij de puntjes op de i, bijvoorbeeld: de evenaar van de hemel is iets anders dan die van de Aarde. En: de duysteraer is een grote cirkel, en niet een vlak met lijnen van het middelpunt naar de omtrek, in welck ansien al wat inde werelt is in den Duysteraer gheseyt wort Het zonnestelsel ligt in dit vlak. De vaste sterren behoorden kennelijk nog niet tot de wereld! De horizon is nu een grote cirkel loodrecht op de as door het 'toppunt' en zijn 'teghenoverpunt', en niet meer (zoals in de Weeghconst, blz 7): het rondt dattet sienlick deel des werelts vant onsienlick scheyt, t'welck vanden wisconstigen Sichteinder verschilt, sulcx datmen van een groote hooghde merckelick meer dan den helft des hemels can sien. Enkele malen wordt een verklaring beloofd "inden Anhang t'sijnder plaets". Bij voorbeeld bij bepaling 11 en 12: de reden waarom de namen evenaarlengte en -breedte gebruikt worden, en niet "na d'oude wijse van der sterren opclimming in rechte cloot" (rechte klimming) en "afwijcking" (declinatie). Dit zou dan in de Anhang bij de Hemelloop moeten staan, maar een nadere toelichting vond ik daar niet. Die is ook niet zo nodig: het woord 'evenaarlengte' verklaart zichzelf, terwijl bij 'rechte klimming' gezocht moet worden naar de 'ladder'. Ook op blz 13 van de Hemelloop staat zo'n aankondiging: voor de reden waarom de ecliptica steeds verdeeld wordt in 360°, zonder de twaalf tekens, wordt verwezen naar de Anhang. Er is daar niet een expliciet antwoord, maar wel een "Verhael op der sterren onbekende loop" (blz 355): het Lentepunt verschuift. De tekens komen niet meer overeen met de sterrenbeelden van de Dierenriem. Na de bepalingen komt een beschouwing over de 'Ghemeene oirden' die Stevin verkiest (eerst de basiskennis, later ernaar verwijzen). Daarin staat een voorbeeldberekening voor het probleem: hoe ver liggen twee steden met bekende lengte- en breedtegraad van elkaar? Het is grappig om te zien dat in werkstuk 11 dezelfde getallen worden gebruikt bij een soortgelijke vraag over twee sterren. De tekeningen zijn bijna gelijk. De werkstukken bevatten ingewikkelde berekeningen aan boldriehoeken, en toch zijn ze kort en overzichtelijk. Dit is alleen mogelijk met een ordening als die van Stevin: de Driehouckhandel is zorgvuldig opgebouwd, zodat in het moeilijkste gedeelte verwezen kan worden naar een vorig werkstuk of vertooch. Zijn Vorstelijke Genade leverde bijdragen aan de werkstukken 9 en 10. Het laatste werkstuk (13) is "De uyr des daechs deur een sterre te vinden": doe alsof die ster de Zon is, gebruik het werkstuk dat daarvoor geldt, en trek het verschil in evenaarlengte er af.