Over microscopen [ Ca. 1692 ] [ Ed. 1703 ] Voorwoord   Met lenzen van glas, hetzij enkele hetzij twee of drie op een bepaalde manier gecombineerd, worden ook Microscopen gemaakt, waarmee willekeurig kleine deeltjes, en hun onderdelen, evenzeer vergroot verschijnen als ver verwijderde dingen met telescopen. En zeker van die welke uit een enkele lens bestaan, is te geloven dat het nut opgemerkt is niet lang na de uitvinding van telescopen; maar de kunst van de samengestelde microscoop vereiste meer opzettelijke aandacht, en lijkt te dateren van ongeveer een decennium later dan de genoemde uitvinding. Want het schijnt dat nog in het 18e jaar van deze eeuw zulke microscopen niet bestonden, aangezien Hier. Sirturus, die in dat jaar een boek over de oorsprong en de bouw van Telescopen uitgaf [1618], niet in stilte voorbijgegaan zou zijn aan de opmerkelijke uitvinding, als die toen al bekend geweest was. Weliswaar maakt Franc. Fontana er aanspraak op, zelfs voor het jaar 1618, in het boek Observationes dat in 1646 is uitgegeven. Maar het getuigenis van Hier. Syrsalis dat hij aanvoert is niet ouder dan 1625. Dat evenwel in het jaar 1621 bij onze landgenoot Drebbel*) zulke microscopen gezien zijn te Londen in Brittannië, hebben dezelfden aan wie ze getoond werden mij vaak verteld°), en dat hij toen gehouden werd voor de eerste uitvinder ervan. Niets verhindert echter te geloven dat beiden, door verschillende opstellingen van lenzen te maken, hierop uitgekomen zijn, ook al wisten ze niets van oorzaken in deze zaken en van Meetkunde in het algemeen.   [ *)  Zie de tekening bij Isaac Beeckman.]     °)  Vader Constantijn Huygens was één van hen.

[ 515 ]

Overigens zijn de microscopen die ik enkelvoudig noemde, hoewel ze vroeger van mindere kwaliteit waren, niet lang geleden zo ver ontwikkeld dat ze alle overige overtreffen in het vermogen om te vergroten. Ze worden dan gemaakt van één bol lensje, of glazen bolletje, dat dicht bij het oog gebracht wordt; van beide zullen we de principes en de oorzaken hier eerst uiteenzetten. Voorstel X Principe en gebruik van enkelvoudige microscopen.   De werking van van een lensje wordt gemakkelijk begrepen uit wat we over de vergroting van een bolle lens in het algemeen geschreven hebben (voorstel II.III). Want laat de lens zijn N, hetgene dat gezien wordt bij R, en wel in het brandpunt daarvan, en het oog O, zo dicht mogelijk naar de lens gebracht. Nu worden stralen die uit R gegaan zijn en gebroken, evenwijdig naar het oog gezonden, en ze geven scherp zicht. Verder wordt het zichtbare voorwerp QRQ onderscheiden met dezelfde grootte als wanneer de lens N er niet zou zijn, en als in plaats ervan een plaatje met een klein gaatje opgesteld zou worden [<], en wel onder de hoek QNQ. Zodat dus de tussengeplaatste lens hier niets anders verschaft, dan dat het zicht scherp wordt, terwijl het zonder de lens vaag zou zijn. Maar met het blote oog wordt het pas zo scherp als het oog op enige afstand er vandaan staat, reken maar 8 duim. Nu kan men zeggen dat het beeld zoveel keer vergroot verschijnt, als die 8 duim groter zijn dan het afstandje NR, oftewel de brandpuntsafstand van het lensje N. En als deze gelijk is aan het vijfde deel van een duim, zal de lineaire vergroting zijn als 40 tot 1. Hoe kleiner dus de brandpuntsafstand van het lensje N is, des te groter is de uitwerking ervan bij het uitbreiden van de gedaante van een klein ding; hoewel zich hier enige hindernissen voordoen (in het vervolg te vermelden [>]) die niet toestaan dat we voorbij bepaalde grenzen gaan.

[ 517 ]

En ook hetzelfde gebeurt bij bolletjes, die zoals we gezegd hebben hier als lenzen aangewend kunnen worden; die overigens gemakkelijk willekeurig klein gemaakt kunnen worden. Maar deze hebben dit ene nadeel ten opzichte van lensjes (als beide van glas zijn): bij gelijke vergroting staan lensjes driemaal zo ver van het zichtbare object, en daardoor geven ze ruimte om licht van opzij te laten invallen. Want zo is het mogelijk de kleuren van dingen te bekijken, terwijl anders de microscoop tegen het licht gehouden moet worden, en slechts gekeken kan worden naar iets dat zo dun is dat het doorschijnend is.   De werking van een bolletje, en wat we net gezegd hebben over een driemaal zo kleine afstand, wordt aangetoond als volgt: Neem een glazen bol met middelpunt K, en as AB, waarop (als hij aan beide kanten verlengd is) het oog geplaatst wordt in D, en het zichtbare object in C; waarbij de afstanden AD en BC elk gesteld worden op een kwart van de middellijn AB. Dan is dus het punt C het snijpunt van de stralen die evenwijdig aan de as AB op het oppervlak AH invallen [I.XIII]; en daarom zal een object dat in C geplaatst is, ten gevolge van de breking van de bol de stralen evenwijdig naar het oog in D zenden, en zo zal het zicht scherp worden. Als nu BD doorgetrokken wordt naar L, zodanig dat AL gelijk is aan middellijn AB, en als men (volgens voorstel I.XII) het punt F zo kiest dat DL : DK = DA : DF, zal in punt D het snijpunt zijn van de stralen in de bol die naar punt F gericht zijn, zoals GH. Zoals dan DL en DK gelijk zijn, zo zullen ook DA en DF gelijk zijn. Laat nu GE aan de as evenwijdig zijn, en de lijn CE van het object afsnijden; en laat getrokken worden de rechte ED. De straal EG zal dan dus, gebroken bij G, volgens GH invallen, en weer gebroken bij H, doorgaan naar het oog in D. En daarom wordt de lijn CE gezien onder de hoek ADH, terwijl hij voor het blote oog de hoek CDE zou beslaan. Ik zeg dat deze de helft is van de vorige. Omdat immers AF het dubbele is van AD, zal hoek ADH het dubbele zijn van AFH. Verder is DE evenwijdig aan FG, omdat GE ook evenwijdig is aan FD, en aan deze (of aan de rechte BC) gelijk gesteld kan worden — omdat het lijntje CE voor heel klein gehouden wordt ten opzichte van de middellijn van de bol. Dan zal dus ook de hoek ADH het dubbele zijn van CDE; en ADH is daarom gelijk aan hoek CKE.

[ 519 ]

Daaruit vloeit voort dat, met het oog geplaatst in D (of waar dan ook op de doorgetrokken as BA, door voorstel II.XIII), de lijn CE onder dezelfde hoek zal verschijnen als voor het blote oog van iemand die zou kijken vanuit punt K. Waaruit volgt, als de middellijn AB van het bolletje 1/12 duim is (zoals we gewoonlijk gebruiken): KC = 1/16 duim. Deze afstand is tot 8 duim als 1 : 128, zodat de vergrotingsverhouding dan is als 128 tot 1, wat inderdaad heel uitstekend is. Maar als nu van de lens N de brandpuntsafstand NR gelijk is aan de rechte KC, zal (naar we gezegd hebben) door diens toedoen het zichtbare object RQ met dezelfde grootte onderscheiden worden als wanneer zonder lens het oog in N gezet zou worden. En ook verandert deze schijnbare grootte niet, waar dan ook het oog geplaatst wordt op de doorgetrokken as RN. Dus volgt dat dezelfde vergroting, en volstrekt hetzelfde effect geleverd wordt door lens N en bol AB. En verder staat vast dat de afstand RN het drievoudige is van BC, wat aangetoond moest worden.   De dikte van de lens NQ hebben we hier op nul gesteld, een juiste schatting wanneer de brandpunts­afstand NR van een duim is, of niet veel minder. Maar aangezien in het gebruik heel kleine lensjes de beste zijn, zoals die waaraan men aan weerskanten vorm geeft met een bolvormige holte ['schoteltje' (>)], met de halve diameter niet groter dan een twaalfde duim, moet er noodzakelijk enige dikte aan overgelaten worden, opdat ze niet al te klein en onhanteerbaar worden en minder goed de bolvorm aannemen. Hierdoor wordt echter de genoemde afstand van het glas tot het zichtbare object verminderd. Neem bijvoorbeeld een lensje ST waarvan het oppervlak bij doorsnijding met een vlak de bogen SXT en SVT een derde van de omtrek maakt, namelijk als ze beschreven worden met middelpunten X en V en straal XV. Om dit dezelfde vergroting van het object te doen geven als het bolletje AB, moet XV gelijk gesteld worden aan de straal KB en een kwart gedeelte ervan*); waaruit volgt dat de afstand tot het brandpunt VY het dubbele van BC is, oftewel 2/3 NR.   *)  Dat is juist, maar het bewijs ontbreekt. [...]

[ 521 ]

Voorstel XI Hoe bolletjes en kleine lensjes gemaakt worden en gebruiksklaar opgesteld.   Hoe kleiner de bolletjes, hoe gemakkelijker ze gemaakt worden, op deze manier. Stukjes glas worden gebracht naar het onderste van de vlam van een lamp, in het gedeelte waar een blauwe kleur wordt gezien, zodat ze gaan gloeien, en dan zo met een ijzerdraadje (zo dun getrokken als mogelijk is) opgenomen, en verder behendig rondgedraaid; dan veranderen ze in bolletjes, die groot genoeg zijn als ze een mosterdzaadje evenaren. Onder verscheidene zo gemaakte zul je enkele deugdelijke vinden, en dit kun je nagaan nadat je ze in een koperen plaatje hebt ingesloten. Wat gedaan wordt als volgt. Een plaatje van het dunste koper, een vinger breed en tweemaal zo lang, moet je vouwen; dan doorboor je dit vierkant in het midden met de punt van een naald. De tegenover elkaar liggende gaatjes maak je glad met een slijpsteentje, opdat er niets ruws bij de randen blijft zitten. En je doet er roet van de vlam op, zodat er binnen niets blijft blinken. Vervolgens zet je het bolletje, nog aan het ijzerdraadje hangend, binnen het plaatje en wel bij de gaatjes; en je houdt het aangedrukt met drie koperen spelden (van draad geknipt) er omheen, erin gestoken en met een hamer geklonken [>]. Zo maak je met weinig moeite meer microscopen, waaruit je de beste selecteert.   Het voornaamste gebruik ervan is (zoals gezegd) het bekijken van doorzichtige lichaampjes, welke dan ook. Ze worden dan gezet op toestelletjes, zo geconstrueerd dat ze door het draaien van een schroef het zichtbare object naderen of ervan wijken, en zo op de vereiste afstand gebracht worden, zodat het zicht scherp wordt [>]. Waarbij het zeer dienstig is dat overtollig licht beperkt wordt, en alleen licht door een gaatje toegelaten wordt dat ongeveer viermaal zijn middellijn van het object vandaan staat*).   *)  In de marge staan twee figuren, waarin te herkennen zijn het genoemde gaatje en de lichtbundel door een punt van het object midden in het gezichtsveld. Het is duidelijk dat de kleine doorsnede van deze bundel, waar hij het bolletje treft, in het bijzonder de twee lensafwijkingen [sferische en chromatische aberratie] vermindert, maar ook dat dit middel niet van toepassing is in het geval van een ondoorzichtig voorwerp dat van voren belicht wordt — zoals Huygens even later ook opmerkt. Zie de opstelling in Aanh. X, en een opmerking ["donkere achtergrond"] bij de waarnemingen van 17 sept. 1678 [>].

[ 523 ]

En inderdaad wordt op deze wijze beter een geschikte opening van het bolletje begrensd dan met de wijdte van het aangrenzende gat, die hier om geen enkele reden beperkt hoeft te zijn. Het oog moet heel dichtbij het bolletje gebracht worden, zodat een grotere ruimte overzien kan worden.   Overigens moeten de lichaampjes of vloeistofdruppeltjes die voor het gezicht tentoongesteld worden, op een vlak glazen schijfje geplaatst worden, dat tijdens het bekijken naar alle kanten beweegbaar moet zijn. Sommigen laten de vloeistof in glazen buisjes trekken, zo nauw dat er nauwelijks een enkel haartje in kan; welke methode ook bruikbaar is. Verder, als men de genoemde lensjes gebruikt, en met een andere (opzij geplaatste) lens licht van bovenaf op het object laat vallen [>], moet men ervoor zorgen dat voor de opening een zo klein mogelijk gat precies afgesteld wordt, door te onderzoeken hoeveel het kan hebben zonder dat het zicht minder scherp wordt. Want de punten van deze lichaampjes stralen zelf, wat anders is bij doorzichtige die door bolletjes bekeken worden — waar het object licht onderschept, en niet uitzendt.   Wonderbaarlijk is nu het effect van zulke lensjes en bolletjes, zoals men kan vernemen uit gepubliceerde experimenten*), waardoor de kennis van natuurlijke dingen zeer veel opheldering gekregen heeft. Een voorbeeld is de duidelijke waarneming van de bloedsomloop, die we met verrukking bekeken hebben in de staart van een aal, getoond door onze beroemde Leeuwenhoek, de meest nauwgezette speurder naar deze dingen. Want deze staart is doorzichtig, en het bloed, bestaande uit roodachtige bolletjes, loopt met een snelle beweging door de kanaaltjes van de slagaderen die uitkomen in de aderen. Wat zonder twijfel ook in andere dieren opgemerkt zou worden, ware het niet dat hierin niet gemakkelijk licht doorlatende delen te vinden zijn. Hij had een levend aaltje gezet in een glazen buis, halfvol met water, waartegen hij aan de buitenkant de microscoop zette, daar waar de punt van de staart het glas raakte [>].   *)  Genoemd in de 'Correspondentie': Power "Experimental philosophy", 1664; Hooke "Micrographia", 1667; Swammerdam "Historia Insectorum Generalis ofte Algemeene Verhandeling van de bloedeloose dierkens", 1669 [methode: p. 80-1]; en Leeuwenhoek aan de Royal Society, vanaf 1673 [May 19: 6037, Octob. 6: 6116 met fig.].

[ 525 ]

Het is ook een genoegen de diertjes te observeren die in waterdruppels zwemmen, waarin gember, of peper, of iets anders met een scherpe geur, gedurende enkele dagen gelegen heeft [>].   De vormen zijn verschillend, en sommige zijn kleiner dan andere. Wonderlijk zijn ook de bewegingen, vrij snel in verhouding tot hun afmetingen, en er is geen middel van beweging te ontdekken, aangezien ze geen poten en kieuwen hebben, en hun lichamen niet buigen zoals vissen. Want azijnaaltjes, die veel groter zijn, zwemmen op dezelfde manier als rivieralen; zij hebben ook deze wonderlijke eigenschap dat ze jongen uit hun lichaam voortbrengen [>]. Want ik heb er een gezien die vier kleintjes binnen zich hield (want ze zijn geheel doorzichtig), en toen het in een buisje bewaard werd heeft het ze na enkele uren gebaard, en ze zwommen elk apart.   Maar van die genoemde diertjes die in water rondsnellen, is het waarschijnlijk dat ze uit de lucht in het water komen, aangelokt door de geur. Als immers verschillende dingen in water geweekt zijn, worden dezelfde vormen ervan gevonden [>]; maar als het potje afgesloten is verschijnen er geen. En verder, doordat ze zo uitzonderlijk klein zijn worden ze gemakkelijk in de lucht gehouden, daar ze veel kleiner zijn dan de kleinste stofjes. Zo laten we misschien duizenden ervan in onze longen komen, zonder het te weten. En het zou niet zonder nut zijn te achterhalen in welke jaargetijden er meer verschijnen, en of hun aantal toeneemt in bedompte lucht.   Melk blijkt te bestaan uit heel kleine doorzichtige bolletjes [>], die zweven in een vloeistof die eveneens doorzichtig is, maar andere lichtbreking heeft. Hierdoor lijkt hij wit, terwijl hij toch geen andere materie bevat dan geheel doorschijnende, en zonder kleur.   Ik ga niet in op het grote aantal vormen van de kleinste insecten. De vleugels van vlinders en muggen, bedekt met heel kleine veertjes. De stofjes die midden op de bloemen aan meeldraden kleven, die niets anders zijn dan doorzichtige blaasjes, vol met die materie waarvan bijen hun was maken, en die ze aan hun poten gehecht naar de bijenkorven brengen [>].

[ 527 ]

Maar van dit alles is als meest wonderbaarlijk en bijzonder te beschouwen, wat waargenomen is in het zaad van mannelijke dieren, te weten dat daarin een onmetelijke hoeveelheid diertjes zwemt op de manier van visjes, ongeveer van de vorm die kikkers hebben als ze pas geboren zijn, nog niet voorzien van poten [>]. En het lijkt me nauwelijks betwijfelbaar dat deze diertjes in de vrouwelijke eitjes binnendringen, en dat ze het begin zijn van de dieren die er uit zullen komen. Want er zijn zeer veel dingen die dit aannemelijk maken, en het doet er niet veel aan af dat uit een zo grote menigte vaak maar weinige of slechts één tot een dier uitgroeit, aangezien een zelfde overvloed en overtollige vruchtbaarheid te zien is in de zaden van de meeste bomen en kruiden, zoals die van de den, de papaver enz.   Deze diertjes dan moeten wegens hun wonderlijke kleinheid (want zelfs tienduizend ervan zijn niet zo groot als een kleine zandkorrel) bekeken worden met die glazen bolletjes, waarvan het vermogen om te vergroten uitstekend is. Voorstel XII Uitleg van samengestelde microscopen.   Nu zullen we spreken over samengestelde microscopen, met behulp waarvan dingen bekeken worden die geen licht doorlaten, waarbij hun ware kleuren verschijnen, en dit beter en gemakkelijker dan met een enkel lensje.

Marge:

Gezocht zal moeten worden naar de reden waarom samengestelde microscopen (of die de kleuren der dingen tonen) niet zoveel kunnen vergroten als bolletjes of lensjes bij doorzichtige objecten.   Waarom kan een samengestelde die veel vergroot niet tegen het licht gehouden worden met een grotere opening? Soms omdat de lensjes niet voldoende nauwkeurig gevormd worden? Maar wat te doen? Ze zouden donkerder zijn wegens het materiaal van de tweede lens en de terugkaatsingen. Ja ook is de het onderste lensje veel dikker dan een glazen bolletje.

Neem als microscooplenzen een kleinere A, en een grotere B (de reden waarom ze zo opgesteld moeten worden zullen we later duidelijk maken). En laat B dichter bij het oog zijn, dat in punt C is; en A aan de kant van het object, dat in E is; en ABC de gemeenschappelijke as voor beide lenzen. Nu zijn er twee beschouwingswijzen, die we aanduiden met twee figuren.

[ 529 ]

In de eerste zijn er stralen die zich uit één punt E van het object uitbreiden naar de lens A, door de breking hiervan samenkomen in punt P, en elkaar daar snijden, en dan doorgaan naar de lens B; door de werking hiervan worden ze evenwijdig gemaakt en zo komen ze aan bij het oog in C, en daardoor wordt het zicht scherp. Het is dus nodig dat de afstand AE groter is dan de brandpuntsafstand AQ van lens A. En dat EQ, EA en EP een evenredigheid vormen*). Lens B moet echter zo geplaatst worden dat zijn brandpunt aan de kant van A juist in punt P valt. Dit alles is duidelijk uit wat hierboven is aangetoond. De andere figuur toont afzonderlijke stralen die uit verschillende punten van het object voortkomen: DAG, FAH, EAB. Nu is punt A het midden van de lens, en gesteld wordt dat AP, AB en AC een evenredigheid vormen, om de plaats C van het oog te bepalen; want zo gebeurt het dat, hoe klein ook het gaatje is waarmee lens A open staat, toch de hele lens B gevuld wordt door het beeld van het object, aangezien de stralen uit A die op de hele lens B vallen naar punt C gebracht worden.   De verhouding nu van de schijnbare tot de ware grootte kan men te weten komen door in de tweede figuur de rechte CF te trekken. Want het zal de verhouding zijn die hoek BCH heeft tot hoek ECF; en deze wordt samengesteld uit die van hoek BCH tot hoek BAH, en die van hoek BAH (of EAF) tot hoek ECF. Maar de eerste ervan is dezelfde als van de rechte AB tot BC, en de laatste is die van CE tot EA, omdat bij deze kleine hoeken de verhouding van de hoeken gelijk gesteld wordt aan die van de tangenten. Daarom zal de verhouding van schijnbare tot ware grootte samengesteld zijn uit de verhoudingen van AB tot BC, of AP tot PB (want AP, AB, AC vormen een evenredigheid*)), en die van CE tot EA. Maar om het effect van de microscoop juister te schatten, kunnen we beter hoek BCH vergelijken met de hoek waaronder de rechte EF gezien wordt als hij 8 duim van het oog af zou staan, dat is met hoek ELF; als LE op 8 duim gesteld wordt, volgens wat hierboven gezegd is over de vergroting van een enkel lensje [<]. En zo moet de vergrotingsverhouding hier geacht worden samengesteld te worden uit de verhouding van hoek BCH tot BAH, en van BAH (of EAF) tot ELF; dat is: uit de verhouding van AP tot PB, en die van de lijn EL (8 duim lang) tot de rechte EA. Want als de microscoop een zodanige lengte had dat b.v. CE twee voet was — dat is driemaal LE — en als met de vorige berekening een schijnbare tot ware grootte gevonden was van 90 tot 1, dan moest men die toch maar schatten op 30 tot 1, omdat de lijn EF maar dertig maal zo groot zou verschijnen met de microscoop, als voor het blote oog, gezien vanaf 8 duim afstand. Want het gaat er niet om hoeveel we met de microscoop iets vergroten dat op twee voet afstand staat, maar hoeveel groter het gemaakt wordt dan wanneer het wordt bekeken vanaf die afstand, waarop we het gewoonlijk tot ons oog brengen als we het scherp willen zien.   [ *)  I.XX:   (v - f) / v = v / (v + b), overeenkomstig de lenzenformule 1 / f = 1 / v + 1 / b .]

[ 531 ]

Voorstel XIII Over licht en opening van microscopen.   Zoals we hiervoor een onderzoek ingesteld hebben naar de openingen van telescopen [<], zo zullen we nu ook overwegen wat geschikt is voor microscooplensjes die op een object gericht worden; waarvan hun hele vermogen en effect afhankelijk is, en wel zozeer dat hieruit valt te leren tot hoever de vergroting van objecten voortgezet kan worden: dat is tot nu toe door niemand bepaald, voor zover ik weet. En ook hier zal een zo goed als oneindige voortgang gevonden worden, zoals bij telescopen is aangetoond; weliswaar niet bij de enkelvoudige microscoop met één lensje, maar bij die welke samengesteld worden uit twee lenzen.   Als microscopen gebouwd worden met een enkel lensje, is te weten dat bij die welke een brandpunsafstand hebben van een halve duim of groter, er geen enkele noodzaak is de opening te beperken om een scherp zicht te krijgen; aangezien de nauwheid van de pupil zelf de stralen die kunnen hinderen voor zover als nodig is buitensluit, en wel net zo als wanneer de lens niet een grotere opening vrij zou laten. Maar bij kleinere lensjes, waar begrenzing van de openingen noodzakelijk is, moeten hun middellijnen aan dezelfde verhouding voldoen als die van de brandpuntsafstanden, om objecten even scherp weer te geven. De helderheid zal dan echter die verhouding in het kwadraat hebben, zodat dus hoe sterker lensjes gebruikt worden, des te groter ze wel alles doen zien, maar ook des te donkerder.   Neem een lensje P, waar­van de as TBF is, en PD de halve middellijn van de opening, de grootste die naar de ondervinding leert genomen kan worden, en kleiner dan de pupil. Het buitenste brandpunt van de rode stralen, voortzetting van met de as evenwijdige stralen, is in punt F, waar ook het object geplaatst is; en het brandpunt van de violette stralen, voortzetting van diezelfde met de as evenwijdige, in B. Wanneer evenzo hetzelfde allemaal gesteld wordt bij een kleiner lensje p, met de halve middellijn van de opening pd in dezelfde verhouding tot de brandpuntsafstand pf als in het grotere lensje, dan zeg ik dat met beide het object even scherp gezien wordt.   Daar immers in beide gevallen, als een straal ED evenwijdig aan de as op de lens P invalt, deze over een zelfde hoek FDB uitgespreid wordt, zo dat hij de uiterste rode kleur brengt naar F, en de uiterste violette naar B,

[ 533 ]

gebeurt het andersom dat een straal FD die van het object weggaat, uitgespreid wordt over de hoek EDK, zo dat hoek EDK gelijk is aan FDB (volgens voorstel VI). En dus is in beide gevallen de spreidingshoek FDB, en daarvan is afhankelijk de spreiding van de stralen achterin het oog, zoals aangetoond is toen over telescopen werd gehandeld [<]. Maar omdat volgens de aard van deze spreiding geldt dat zoals PF tot FB is, zo is pf tot fb, en evenzo (volgens het gestelde) PD tot PF als pd tot pf, is duidelijk dat zowel PFD en pfd, als PBD en pbd gelijk zijn; en daarom is ook het verschil van de eerste twee gelijk aan het verschil van de laatste twee, d.w.z. hoek FDB is gelijk aan hoek fdb. En dus zijn de spreidingen achterin het oog voor beide gelijk, en is wat dit betreft het zicht even scherp.   Verder, omdat de hoeken PFD en pfd gelijk zijn, blijkt dat in beide gevallen een zelfde hoeveelheid stralen van het objectpunt F of f (en willekeurige andere) naar de lenzen weggaat, dus ook naar de pupil van het oog. Maar de breedte van het object wordt achter in het oog zoveel groter met het kleinere lensje, als PF groter is dan pf, zoals in het bovenstaande bewezen is [<]; en de schijnbare oppervlaktes zijn in kwadratische verhouding van de breedtes. Dus zal een zelfde hoeveelheid lichtende stralen, besteed om elk van beide oppervlakken te verlichten, het kleinste helderder maken, in de verhouding waarmee het door het andere oppervlak wordt overtroffen; dat is volgens de kwadratische verhouding van PF tot pf. En dit is wat nog bewezen moest worden.   Aangezien dus bij sterkere lensjes niet dezelfde volmaaktheid van het zicht bewaard kan worden als bij grotere gevonden wordt, zonder dat de donkerheid toeneemt, spreekt het vanzelf dat men niet kan doorgaan met vergroten zover als men wil, tenzij meer licht ergens anders vandaan gehaald wordt om het object te belichten. En ook zo komen we niet veel verder, aangezien de breedte bij de pupil, of het cilindertje van stralen dat afkomstig is uit afzonderlijke punten van het object — waarover bij de uitleg van telescopen gesproken is [<], en dat hier dezelfde breedte heeft als de opening — niet vernauwd kan worden onder het vijfde of zesde deel van een lijn*), zodat er aan alle kanten een grens is aan de werkzaamheid van deze lensjes.   Nu zullen we verder onderzoeken wat gedaan kan worden door twee lenzen te combineren, en in de eerste plaats zullen we laten zien dat men meer kan bereiken met kortere dan met langere microscopen. Ja zelfs zullen we aantonen dat een zo goed als oneindige voortgang in vergroting te geven is, als niet de kleinheid van de lensjes het zou verhinderen. Die wordt weldra zodanig, dat we noch de goede bolvorm er aan kunnen geven, noch ze voldoende makkelijk kunnen behandelen; ze zijn immers tenslotte ook niet meer te zien.

[ 535 ]

Verder is het volgende voorstel even waar voor beide aberraties van de stralen°). Want dat hier ook rekening gehouden moet worden met die welke uit de vorm voortkomt, zullen we erna laten zien.   *)  De grens die Huygens aangeeft [>] is ongeveer 0,4 mm [een 'lijn' was 1/12 duim].   °)  Chromatische en sferische aberratie: afwijking door brekingsverschil bij verschillende kleuren [<], en door de bolvorm van de lens. Voorstel XIV Als gegeven is een willekeurige microscoop, samen­gesteld uit twee lenzen, volgens wat we gezegd hebben [<], kan met handhaving van dezelfde oculairlens een andere kortere gevonden worden, waarin de schijnbare grootte van een object dezelfde wordt, de helderheid dezelfde, maar het zicht scherper, of met handhaving van dezelfde scherpte, de helderheid groter.   Beschouw een microscoop die samengesteld is uit de lenzen EZ als oculair en PD aan de kant van het object, waarvan de gemeenschappelijke as VEPB is. Het object is in B; het brandpunt van lens PD tussen P en B is O, en dat van lens EZ tussen E en P is N. Het oog is in V. De opstelling is zoals boven, namelijk zo dat BO, BP en BN een evenredigheid vormen, en evenzo PN, PE en PV.   Als verder een oculairlens ez genomen wordt, die een brandpuntsafstand en heeft, gelijk aan EN, wordt daarbij een andere lens pd gevoegd, waarvan de brandpuntsafstand po kleiner is dan PO. Zoals nu PO tot po is, zo moet PN tot pn zijn, en zo ook PB tot pb. Daarom, evenals stralen die vanaf het punt B van het object weggaan, door de breking van lens PD samenkomen in N, zo zullen ook stralen die vanaf het punt b komen, door de breking van lens pd samenkomen in n, en daarna zullen ze door de breking van lens ez evenwijdig worden, en zo naar het oog lopen, dat in v is, als gesteld wordt dat pn, pe en pv een evenredigheid vormen; daaruit zal volgen dat het oog de hele lens ez met het beeld van het object gevuld zal zien, volgens wat boven is uitgelegd [<].

[ 537 ]

Ik zeg nu dat in beide microscopen de schijnbare grootten van objecten gelijk zullen zijn. Maar indien ook de lensopeningen PD en pd evenredig gesteld worden met hun brandpuntsafstanden, zeg ik dat met beide microscopen dezelfde helderheid verkregen wordt, maar dat met de kortste alles scherper onderscheiden wordt, oftewel dat de afwijkingshoek in het oog hier kleiner wordt.   Laat de lijnstukjes BX en bx de breedten van het object zijn, loodrecht op de assen en onderling gelijk, en laat door de middelpunten P en p van de lenzen getrokken worden de rechten XPZ en xpz, die de lenzen EZ en ez ontmoeten in Z en z, en laat vanaf hier getrokken worden ZV en zv, naar de punten waar het oog moet zijn. Daardoor zullen de gelijke lijnstukjes BX en bx gezien worden onder de hoeken EVZ en evz, en als we aantonen dat deze onderling gelijk zijn, dat wil zeggen als de verhouding VE tot EZ gelijk is aan die van ve tot ez, zal in beide gevallen de schijnbare grootte dezelfde zijn.   Nu is de verhouding van VE tot EZ samengesteld uit de verhoudingen VE tot EP en EP tot EZ. Maar de verhouding VE tot EP is dezelfde als EN tot NP, omdat VP, EP en NP een evenredigheid vormen. En de verhouding EP tot EZ is dezelfde als PB tot BX. Dus de verhouding VE tot EZ wordt samengesteld uit EN tot NP en PB tot BX, en zal daarom dezelfde zijn als van rechthoek EN, PB tot rechthoek NP, BX; en deze is ook samengesteld uit de verhoudingen PB tot NP en EN tot BX.   Op dezelfde manier wordt bij de kleinere microscoop aangetoond dat ve tot ez samengesteld wordt uit de verhoudingen pb tot np en en tot bx. Maar de verhouding pb tot np is dezelfde verondersteld als PB tot NP zoals gemakkelijk doorzien wordt. Evenzo is de verhouding en tot bx dezelfde als EN tot BX, omdat onderling gelijk zijn en en EN en evenzo bx en BX.

[ 539 ]

Dus worden de verhoudingen VE tot EZ en ve tot ez samengesteld uit dezelfde verhoudingen, en daarom zijn ze onderling gelijk; en derhalve ook de schijnbare grootte van het lijnstukje BX, of bx.   Als verder de openingen PD en pd gesteld worden in dezelfde verhouding te zijn als die van de brandpuntsafstanden PO en po, dat is die van de rechten PB en pb, blijkt dezelfde hoeveelheid stralen uit alleen de punten B en b van het object, opgenomen te worden door beide microscopen; en derhalve ook vanaf hun hele oppervlak. En daar dit licht in beide gevallen gebruikt wordt voor gelijke beelden, volgt dat hun helderheid gelijk wordt.   Tenslotte wordt ook gemakkelijk aangetoond dat de afwijkingshoek door kleurschifting van een straal kleiner is in de kortere microscoop. Want als deze afwijkingen zijn BF en bf van de stralen die uit N en n komen, wordt gemakkelijk begrepen dat die zich onderling zullen verhouden zoals de afstanden BP en bp; welke zelfde verhouding ook hebben de openingen of hun helften PD en pd. Daaruit blijkt, als FD en fd getrokken worden, dat de driehoeken BDF en bdf gelijkvormig zijn, en hun hoeken D en d gelijk. Aangezien dus de stralen ND en nd door de breking van de lenzen PD en pd zo verstrooid worden, dat DB en db de rode kleur dragen, maar DF en df de violette, en derhalve andersom de violette FD en fd zouden overgaan in DN en dn; daarom gaat het zo dat de violette die in de stralen BD en bd bevat zijn, overgaan in DM en dm, zodat de hoeken MDN en mdn gelijk zijn aan de hoeken BDF en bdf (voorstel VI). Nu zijn deze twee onderling gelijk, dus zijn ook de hoeken MDN en mdn gelijk. En daar PN groter is dan pn (want ze verhouden zich als de brandpuntsafstanden PO en po): als getroken worden loodrecht op de as NK en nk, die de rechten DM en dm ontmoeten, zal NK groter zijn dan nk; en als getrokken zijn NM en nm, en evenzo KE en ke: omdat gelijk zijn NE en ne, zal hoek nek kleiner zijn dan NEK, en daarom ook nmk kleiner dan NMK, omdat deze afzonderlijk geacht worden gelijk te zijn aan die afzonderlijk. Maar indien verder gesteld wordt dat G en g de brandpunten zijn van de violette stralen die evenwijdig aan de as op de lenzen EZ en ez invallen, zoals de brandpunten van de rode zijn N en n (want we definiëren altijd de brandpuntsafstanden met het punt van samenkomst van de rode stralen), volgt nu, als de violette door GM en gm lopen, dat ze evenwijdig aan de as zullen uittreden, bijvoorbeeld als MR en mr; en derhalve dat de violette DM en dm na de breking niet evenwijdig met de as zullen zijn, maar zo naar binnen gebogen dat de hoeken RMS en rms gelijk worden aan de hoeken GMK en gmk.

[ 541 ]

Verder, omdat EN en en gelijk zijn, maar em kleiner is dan EM (zoals we straks zullen aantonen), zal bij de afwijking die door de lensvorm ontstaat gn kleiner zijn dan GN, maar bij de andere afwijking waren deze gelijk. Daarom is altijd de hoek nmg kleiner dan NMG. Nu was ook nmk kleiner dan NMK, dus de hele gmk is kleiner dan GMK. Maar nu was aan hoek gmk gelijk rms, en aan hoek GMK was gelijk RMS. Dus ook rms is kleiner dan RMS; maar van deze hoeken is de afwijking binnen het oog afhankelijk, zoals aangetoond is toen we over de openingen van telescopen handelden [<]. Dus zal deze afwijking kleiner zijn in deze kortere microscoop dan in de langere. Wat in de derde plaats te bewijzen was.   Overigens zal de één de ander overtreffen in ongeveer dezelfde verhouding als de rechten NK en nk, dat is als de brandpuntsafstanden PO en po, voorzover de hoeken NMG en nmg verwaarloosd kunnen worden omdat ze zo klein zijn.   Wat nu gezegd is over em, dat hij kleiner is dan EM, zal als volgt bewezen worden. Laat de punten waarin DM en dm de assen snijden H en h zijn. Gemakkelijk wordt dan uit het bovenstaande begrepen dat zowel de hoeken NDP en ndp, als HDP en hdp gelijk zijn; en daar dp kleiner is dan DP, zal ook ph kleiner zijn dan PH. En met dezelfde verhouding is hn kleiner dan HN.

[ 543 ]

Maar ne is gelijk aan NE. Dus is he kleiner dan HE. En omdat de hoeken ehm en EHM gelijk zijn, zal em kleiner zijn dan EM, wat nog te bewijzen over was.   Daar nu aan deze kortere microscoop een scherper zicht ten deel valt dan aan de langere, en de helderheid in beide gevallen dezelfde is, volgt dat de opening van lens pd wat vergroot kan worden, totdat de afwijkingshoek rms gelijk wordt aan RMS, en dat zo, onder gelijkblijvende omstandigheden, de kortere microscoop helderder wordt.   Deze vooruitgang in helderheid is dus onbegrensd, omdat die immers des te meer toeneemt naarmate het lensje pd sterker gesteld wordt.   En ook zal de breedte naar de pupil (hierboven uiteengezet [<]) geen hinderpaal vormen, maar integendeel: ook deze neemt toe in kortere microscopen. Want als eerst (zoals boven) de openingen evenredig gesteld worden met de brandpuntsafstanden, en de rechten DN en dn verlengd worden totdat ze de lenzen EZ en ez ontmoeten in de punten I en i, zullen EI en ei de halve breedten naar de pupil zijn, omdat vanaf de punten I en i de stralen evenwijdig naar de pupil gaan die aankomen langs BD, DI en bd, di. En dat deze EI en ei gelijk zijn staat wel vast, omdat de brandpuntsafstanden NE en ne gelijk zijn, en eveneens zijn gelijk de hoeken ENI en eni; omdat namelijk hun tegenovergestelde hoeken DNP en dnp gelijk zijn. Maar als nu dus de opening pd breder wordt, blijkt ook ei groter te worden dan EI. Voorstel XV   Na deze uitleg zullen we nu verder onderzoeken hoe microscopen korter gemaakt kunnen worden, terwijl ze tegelijk objecten meer vergroten, met handhaving van dezelfde helderheid en scherpte, en evenzo van de breedte naar de pupil die er is bij een gegeven microscoop, en bovendien van de verhouding BP tot PN.   Bij deze zaak zullen we de afwijkingen die voortkomen uit de kleurschifting van een straal, en die uit de bolvorm van de lens, apart behandelen, en eerst die van de kleurschifting.

[ 545 ]

Laat weer twee microscopen gesteld worden, en alles hetzelfde als in het vorige voorstel, behalve dat onbepaald is, in de kleinste, de verhouding pb tot de halve opening pd; en eveneens onbepaald de brandpuntsafstand ne van de oculairlens. Maar laat al het overige op dezelfde manier geconstrueerd zijn. Verder is in de grootste microscoop de afstand PB = b, waarmee namelijk het lensje P van het object verwijderd is. PN = c; NE = d. Van de halve opening is de breedte PD = a. De lengte van het object is BX = h, NK = n. Verder stellen we dat de afstanden PN en PB van de met elkaar verbonden punten een verhouding hebben van groter dan 6 of 7 tot 1, en dat de brandpuntsafstand EN groter is dan de brandpuntsafstand PO. zoals deze in dergelijke microscopen gewoonlijk behoren vastgesteld te worden. Maar in de kleinere microscoop nemen we de afstand pb = f ; en de gezochte halve opening pd = x. Nu zal pn = cf/b zijn omdat we PB, PN en pb, pn evenredig stellen. Maar als zou gelden: zoals BP tot PD, zo bp tot pd, blijkt dat pd = fa/b zou worden, en de afwijkingshoek bdq, van de straal komend uit n naar lens p, zou gelijk worden aan de afwijkingshoek BDQ van de straal komend uit N naar lens P: omdat zoals in het vorige voorstel ook hier geldt: zoals NP tot np, zo PB tot pb, en zo ook de brandpuntsafstand PO tot po. Maar omdat ik nu de halve opening pd = x stel, en niet = fa/b, zal gelden: zoals fa/b tot x, zo hoek BDQ tot hoek bdq. Want volgens de regel voor de afwijking die we hier beschouwen, houdt bq tot pd steeds dezelfde verhouding, en dientengevolge wordt ook hoek bdq geacht evenredig toe of af te nemen met de opening pd. Anderzijds, als de hoeken NDK en ndk gelijk waren, zou moeten gelden: NK tot nk als PN tot pn. Maar nu zal NK tot nk samengesteld moeten zijn uit de verhoudingen PN tot pn, en die van hoek NDK tot ndk. dat is uit de verhoudingen PB tot pb, of b tot f, en hoek BDQ tot bdq, die (naar we gezegd hebben) dezelfde is als die van fa/b tot x; en daarom zal de verhouding NK tot nk zijn die van rechthoek fa tot rechthoek fx oftewel die van a tot x. En daar NK = n is, zal nk = nx/a zijn.

[ 547 ]

Opdat nu de afwijkingshoek in beide gevallen binnen het oog gelijk wordt, zouden de hoeken KMG en kmg gelijk moeten zijn, zoals uit het bovenstaande te begrijpen valt [<]. Maar in plaats van deze, stellen we dat gelijk moeten zijn de hoeken KMN en kmn, waarbij te verwaarlozen zijn de toevoegsels van de hoeken NMG en nmg, omdat ze heel klein zijn ten opzichte van die andere, zoals zal blijken in de hierna volgende beschrijving en berekening van onze microscoop [>]. Zoals dus NK tot NM of NE is, dat is zoals n tot d, zo zal moeten gelden nk, dat is nx/a, tot nm of ne, en daarom is deze laatste = dx/a.   Verder nu, omdat dezelfde lengte van de lijnstukjes BX en bx, in de gegeven microscoop bekeken wordt onder de hoek EVZ, en in de andere waargenomen wordt onder de hoek evz, moet gelden: zoals hoek EVZ tot evz, zo PBD tot pbd; want zo zal het opgenomen licht in beide microscopen zich verhouden als de schijnbare grootte, en daarom zal de helderheid in beide gelijk zijn.   Daarom zal na verwisseling ook hoek EVZ tot PBD zijn als evz tot pbd. Verder wordt de verhouding van hoek EVZ tot PBD samengesteld uit de verhoudingen EVZ tot EPZ of BPX, en BPX tot PBD; die hier dezelfde geacht worden te zijn als PE tot EV, of (wegens de evenredigheid die PN, PE, PV vormen) PN tot NE, en BX tot PD. Dat is, dezelfde als c tot d, en h tot a; en daarom zal hoek EVZ tot PBD zijn als ch tot da, en zal ook hoek evz tot pbd deze zelfde verhouding hebben. Maar nu wordt de verhouding van hoek evz tot pbd, samengesteld uit de verhoudingen van hoek evz tot epz, of bpx, en bpx tot pbd; en deze worden hier dezelfde geacht te zijn als pe tot ev, of pn tot ne, en bx tot pd. Dat is dezelfde als cf/b tot dx/a, en h tot x. En daarom zal de verhouding samengesteld uit cf/b tot dx/a en h tot x, dat is de verhouding cfh/b tot dxx/a, dezelfde zijn als ch tot da. Waaruit komt xx = aaf/b; en x = a√(f/b).

[ 549 ]

Gevonden wordt daarom hier, zoals bij de telescopen [<], dat, als dezelfde helderheid blijft bestaan en dezelfde afwijking door kleur­schifting, de openingen van de lenzen die naar het object worden gekeerd, zich verhouden als de wortel uit de brandpunts­afstanden. Want zoals √b tot √f, zo is hier de halve openings­diameter a tot x. En zoals b tot f is, zo zijn de brandpunts­afstanden PO tot po.   Verder, aangezien we gezegd hebben dat zoals de schijnbare grootten in beide microscopen, d.w.z. zoals hoek ZVE tot zve, zo hoek DBP tot dbp is, volgt, als verlangd wordt dat de vergroting tweemaal zo groot is in de microscoop die samengesteld is uit de lenzen e en p als in de andere: dat hoek dbp tweemaal zo groot moet zijn als DBP, opdat in beide dezelfde helderheid gloeit. En dus, daar BP tot PD is als b tot a, dat bp tot pd, dat is f tot a√(f/b), zal zijn als b tot 2a. Waaruit komt f = 1/4 b, en hieruit: x of √(aaf/b) = 1/2 a. En de brandpuntsafstand ne, die dx/a was, is gelijk aan 1/2 d.   Zo dan, als we een microscoop nemen zoals de onze, waarin de brandpunsafstand PO van het lensje 7/10 deel is van een duim, van de oculairlens de brandpuntsafstand EN = 2, de afstand NP = 7; en daarom de afstand tot het object PB = 7/9 (volgens voorstel I.XX), omdat namelijk ten opzichte van lens P de punten N en B met elkaar verbonden zijn. Evenzo EV = 18/7, namelijk de afstand van het oog tot lens E, omdat ten opzichte van deze lens de punten P en V met elkaar verbonden zijn. Evenzo de halve openingsdiameter PD = 1/20. Als we deze waarden nemen, zeg ik, ontstaat hieruit een andere microscoop die objecten tweemaal zoveel vergroot, met handhaving van dezelfde helderheid en scherpte, waarin po zal zijn 7/40 ; en = 1; afstand np = 7/4 ; pb = 7/36 ; ev = 11/7 ; pd = 1/40 . Waarvan dus de totale lengte vb ongeveer 4 1/2 duim is, terwijl de lengte VB van de onze ongeveer 12 1/3 duim is, en daarom bijna drie keer zo groot.   Nu is in onze microscoop de vergroting volgens de diameter die van 36 tot 1, zodat namelijk, volgens wat we gezegd hebben (in voorstel XII), de breedte van een object zoveel keer groter verschijnt als wanneer het vanaf acht duim afstand met het blote oog bekeken wordt; aangezien, zoals daar aangetoond is, deze verhouding samengesteld wordt uit de verhoudingen PN tot NE, en die van de lengte 8 duim tot PB, dat is uit de verhoudingen 7 tot 2 en 8 tot 7/9 , die de verhouding 36 tot 1 geven.

[ 551 ]

Verder is te bewijzen dat de bundelbreedte naar de pupil (zie hierboven [<]), in beide microscopen dezelfde is. Daar immers in de grootste geldt: zoals NP = c tot PD = a, zo NE = d tot EI, zal de breedte naar de pupil zijn EI = ad/c. Maar in de kleinste evenzo, omdat zoals np (dat is cf/b) is tot pd (dat is a√f/b), zo is ne = d√f/b tot ei, en dus wordt ook deze gelijk bevonden aan ad/c.   Dit zal dus zo zijn als alleen rekening gehouden wordt met de afwijking die uit de kleurschifting voortkomt. En de verdere ontwikkeling naar grotere effecten van microscopen zal om zo te zeggen oneindig zijn, aangezien gesteld kon worden: f is tot a√(f/b) zoals b is tot een willekeurige andere. Maar wel moet onderzocht worden of de andere afwijking, die uit de vorm ontstaat, niet enigszins kan storen. Te dien einde moeten we eerst door berekening trachten te weten te komen, wat de hoek is van beide afwijkingen in die genoemde microscoop van ons, waarin (naar we weten) geen van beide tot nu toe schadelijk is. Maar we laten eraan vooraf gaan de volgende hulpstelling.